Чем можно обработать дерево, чтобы оно не плесневело?

Пятна сначала нужно снять механически, жёсткой щёткой или шлифовкой верхнего слоя. Просто нанести состав поверх плесени малоэффективно, она частично останется под плёнкой защиты. После зачистки поверхность обеспыливают и дают доскам просохнуть, если это возможно без демонтажа.

Дальше нужен антисептик именно с фунгицидным действием, это указано на упаковке, обычная пропитка "для дерева" без этой пометки от грибка может не спасти. Наносят в два слоя с просушкой между ними, для сильно поражённых участков - точечно ещё раз после высыхания основного слоя.

Но главное - разобраться с причиной, а не только с пятнами. Раз рядом погреб и сырость, дело скорее всего в постоянной влажности воздуха и отсутствии вентиляции, а не в качестве самой обработки. Проверьте, есть ли в сарае продухи или щели для проветривания, нет ли протечки рядом с погребом, не стоит ли древесина впритык к сырой земле или стене без зазора.

Без устранения источника влаги плесень будет возвращаться даже после хорошей обработки. Антисептик замедляет процесс и защищает древесину, но не заменяет нормальную вентиляцию помещения.